Defesa de Tese.

Resumo: Nesta tese de doutorado estudamos percolação de bootstrap, uma versão monótona da dinâmica de Glauber para o modelo Ising de ferromagnetismo, e algumas aplicações para modelos dinâmicos (não-monótonos). No Capítulo 1, introduzimos a percolação de bootstrap e fornecemos uma visão geral da dinâmica de Glauber para o modelo Ising em grafos. No Capítulo 2, discutimos o modelo geral de autômatos celulares monótonos, introduzido por Bollobás, Smith e Uzzell, e enunciamos os resultados bidimensionais mais recentes obtidos em seu cenário extremamente geral. Além disso, nós provamos que para uma ampla classe de famílias de bootstrap subcríticas, o tamanho da componente que contém a origem decai exponencialmente rápido, em distribuição. Uma das principais contribuições desta tese é a determinação do threshold de percolação para uma família de modelos tridimensionais conhecida como percolação de bootstrap anisotrópica. Nós fazemos isso no Capítulo 3, introduzindo uma nova técnica chamada processo de vigas, e usando a propriedade de decaimento exponencial provada no Capítulo 2. O Capítulo 4 lida com duas aplicações da percolação de bootstrap. A primeira parte é dedicada à exposição dos resultados recentes de universalidade obtidos por Martinelli, Morris e Toninelli, para modelos de spin cineticamente restritos. Na segunda parte, generalizamos um resultado de Fontes, Schonmann e Sidoravicius, que mostram a existência de uma transição de fase para a dinâmica de Glauber de temperatura zero para o modelo de Ising na rede d-dimensional; Nós provamos um teorema análogo para a chamada dinâmica U-voter, para várias famílias U. Abstract: In this Ph.D. thesis we study bootstrap percolation, a monotone version of the Glauber dynamics of the Ising model of ferromagnetism, and some applications to (non-monotone) dynamical models. In Chapter 1 we introduce bootstrap percolation and provide an overview of the Glauber dynamics of the Ising model on general graphs. In Chapter 2 we discuss the general model of monotone cellular automata introduced by Bollobás, Smith and Uzzell, and state recent two-dimensional results obtained in their extremely general setting. Moreover, we prove that for a wide class of subcritical bootstrap families, the size of the cluster containing the origin decays exponentially fast, in distribution. One of the main contributions of this thesis is the determination of the threshold for percolation for a family of three-dimensional models known as anisotropic bootstrap percolation. We do this in Chapter 3, by introducing a new technique called the beams process, and using the exponential decay property proved in Chapter 2. Chapter 4 deals with two applications of bootstrap percolation. The first part is devoted to the exposition of recent universality results obtained by Martinelli, Morris and Toninelli, for kinetically constrained spin models. In the second part, we generalise a result of Fontes, Schonmann and Sidoravicius, who showed the existence of a phase transition for the zero-temperature Glauber dynamics of the Ising model on the d-dimensional lattice; we prove an analogous theorem for the so-called U-voter dynamics, for various families U. .